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19/09/14 23:19
저 쇠구슬이 수평으로 구를때 생기는 사이클로이드 곡선과 일치시킨 곡면을 만들어서 쇠구슬의 회전에너지가 직선운동과 연동되게 하는 원리인 것 같은데, 그게 왜 더 빠른지는 아랫분이...
19/09/14 23:23
극단적으로 생각해보면, 거리로보자면 가장 짧은 것이 자명한 수평선의 케이스에선 영원히 반대편에 도달하지 못할테니 (가장 짧은 거리) != (가장 빠른 경로) 인거죠.
그 최적점이 사이클로이드 곡선인거고...
19/09/14 23:28
물체의 높이가 낮아지면 위치에너지가 운동에너지로 전환되면서 물체의 속도가 빨라지겠죠.
시간 = 거리 / 속도니까 시간을 최소화할 수 있는 경로를 계산으로 구하면 됩니다. 그 결과가 저 곡선이구요.
19/09/14 23:34
근데 그건 마찰이 없다고 가정했을때 얘기인거고, 저건 구슬이 바닥에 붙어서 구르는 경우거든요. 말씀하신 위치에너지-운동에너지 만으로 설명하기엔 저 곡선상에서 올라올때 감속되는 것 까지 설명하지 못할 것 같아요...
19/09/14 23:37
(수정됨) 글 제목만 봤을 때는 직선보다 곡선이 빠른 이유는 간단하게 설명이 가능하거든요.
그렇게 복잡한 경우까지 가정한 실험인지는 모르겠네요. 그리고 마찰이 없는 이상적인 경우에 구슬은 놓은 위치와 같은 높이까지만 올라가게 되죠. 위치에너지가 출발점과 같다는 것은 운동에너지가 0이라는 얘기니까요.
19/09/14 23:58
실제 구슬은 저 곡면의 최고점보다 약간 높은데서 시작한거니까, 저 곡면의 시작점에서의 속도와, 내려갔다 올라왔을때의 속도는 동일해야 하거든요. 마찰이 없는 이상적인 경우엔... 그럼, 가속-감속이 일어났다고 해도 실제 운동량의 적분값은 동일할테고, 그렇게 되면 거리가 더 먼 곡면이 더 오래 걸려야 할 것 같은데요.
일단 저 공이 직선상에서 굴러갈 때 그리는 사이클로이드 곡선과, 저 곡면이 일치하도록 만들어져 있는 것 같고, 그로 인해서 위치에너지 -> 운동에너지 -> 원심력(토크) -> 운동에너지 -> 위치에너지로 변환되는 과정에서 손실이 최소화되는게 아닌가 싶습니다;; 제 가정이 틀릴 수도 있겠지만, 일단 그렇게 보여요.
19/09/15 00:29
직선 경사로에서 굴리나 사이클로이드에서 굴리나 마찰로 인한 손실은 0인거 같고, [실제 운동량의 적분값은 동일할테고] 라고 하셨는데 동일하지 않은 것 아닌가요? 동일 시간 기준 가속 후 감속하면 해당 시간 내 적분값이 훨씬 커집니다.
19/09/15 01:07
(수정됨) 초기에 빠른 속도를 얻어서 조금 더 먼거리지만 전체적으론 훨씬 더 빠르게 이동하니까요? 그 최적화 결과가 사이클로이드 인거고... 어떻게 잘 설명해야할지 잘 모르겠네요.
말씀하신 적분 관점에서, v = 1 을 0초에서 2초까지 적분하면 2인데, v = 1 + t ( 0 < t < 1) v = 2 - t ( 1 < t < 2 ) 인 케이스를 보면 속도가 초기값 1에서 가속 후 감속, 2초후엔 다시 정확히 1이 되는데 적분값은 3이니 선가속 후 감속이 유리한 면은 있죠. 말씀하신 y = -sin x 형태의 곡선도 직선보다 빠를 순 있을 것 같네요. 계산해봐야 알겠지만... 사실 저 장난감이 사이클로이드를 설명하기에 좋은 교보재는 아닌것 같은게, 지금 직선케이스보다도 더 많이 하강한 후 수평선이 이어지다가 다시 상승하는 형태면 지금 직선보다는 더 빠를 것 같아요.
19/09/15 01:11
음... 설명을 듣고 보니, 가속후 감속을 하면서 얻게 되는 이익이 실제 이동거리가 멀어지는 손해보다 더 크면 더 빨리 이동할 수 있게 되겠네요. 그리고 그 (이익 - 손해)가 극대화되는 경우가 사이클로이드 곡선인 거고요. 대학수학 배운지가 하도 오래돼서 공식을 풀 수는 없겠지만, 대략 이해가 갔습니다. 감사합니다!
19/09/14 23:38
위치에너지 운동에너지로 충분합니다.
사이클로이드 곡선자체가 굴림마찰력이 작용해도 위치에너지 운동에너지 교환이 손실없이 진행되는 궤적이여서...
19/09/15 00:19
사이클로이드랑 역학적에너지 손실이랑 관계가 있나요? 굴림운동의 경우 직선형태의 경사면을 굴러간다해도 역학적 에너지 손실은 없는거 같아서요.
19/09/17 19:57
악...
제가 잘못 생각했습니다. 말씀하신대로 대충 곡면이면(충격량만 없으면) 굴림운동으로 에너지는 보존될것 같고... 아랫분이 쓰신 라그랑지안이 가장 깔끔한 설명이됩니다. 사실 더 아래로 내려가면 더 빨리 도달하겠지만 멋이 없으니...
19/09/15 00:00
마지막에 덜 올라가는 이유는 뭘까요. 마지막에 덜 올라가는게 그냥 실험상의 문제가 아니라 에너지의 전환 문제라면, 가까운 쪽의 공이 먼저 멈추겠네요.
19/09/15 02:33
속도만 비교하면 더 빠른데, 덜올라가는데 뭔가 이유가 있다면 그 이유가 속도를 더 빠르게 하는데 영향을 줬을 수 있으니까요.
저게 실험에서의 조작미스로 발현된 게 아니라 실험자체에서 어떤 이유가 있는 거라면, 그 '조금 덜 올라가는' 것의 의미가 구슬이 먼저 멈춘다는 걸 의미하게됩니다. 위치에너지가 감소한거니까요.
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