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20/05/21 21:12
(수정됨) 뭐 무한집합의 크기는 초한기수로 표현하긴 하죠...뭐 크기라기보단 농도로 이해하는게 낫다던가...
뭐 무한집합 자체가 자기자신을 제외한 진부분집합이 일대일대응이 존재하는 경우를 말하긴 합니다만요... 보통 무한대의 크기 비교라하면 집합론에서 무한집합의 크기를 비교한거라고 봐야... 흔히 짝수의 집합과 홀수의 집합 자연수의 집합 정수의 집합 유리수의 집합이 전부 같은 크기라던가 하는거 말이죠...
20/05/21 13:05
일반적인 상황에서는 (일반적인 상황이라 함은 일반 사람이 생각하는 수학 수준을 뜻합니다.)
무한은 애초에 수가 아닙니다. 즉, 1, 2, 3은 모두 같은 답이 되겠지요. -> [짝수도 홀수도 아닙니다.] 애초에 수 자체가 아니니까요. 무한에는 [상태의 무한]과 [양적 개념의 무한]이 있는데, 이 경우는 상태의 무한을 이야기하는 것이고 상태의 무한은 크기 비교라는 개념이 없습니다. 즉, 4번은 [그런거 없다.]가 답입니다. 뭐 굳이 따지자면 크기가 같다고 하는 것이 어울리겠네요. (참고로 양적 개념의 무한은 무한끼리 크기 비교가 됩니다.)
20/05/21 13:31
(수정됨) 무한이라는 개념이 참 복잡한데.. 무한은 무한일 뿐이고, 4의 경우 크기가 같습니다.
참고로 소수의 갯수보다 0과 1사이의 실수 갯수가 더 많습니다.
20/05/21 13:53
제가 이해한 바로는...
예를들어서 P(N)이 2부터 N보다 작은 소수를 모두 곱한 것이라고 치면, N이 아무리 커지더라도 모든 자연수 N에 대해서 P(N)은 짝수라고 말할수 있습니다. 아마 이게 일반적으로 생각하는것일 겁니다. 하지만 모든 소수를 곱한것이라고 하면 개념이 달라집니다. 소수의 개수는 무한하기 때문에 모든 소수를 곱한것은 무한대로 발산하는 개념이고 '수'가 아니기 때문이라는 거죠. 그냥 대충 짝수라고 하면되지 쓸데없는 개념을 만들었냐고 생각하실수도 있지만, 대충 그런식으로 하면 더 많은 모순들이 발견됩니다. 그리고 원래 무한의 세계에서는 이상한 일들이 많이 벌어지죠. 자연수의 전체의 갯수나 짝수의 갯수나 같다던지..
20/05/21 17:04
저걸 곧이곧대로 모든 소수의 곱으로 이해하면 곤란합니다.
유한한 값들에서 소수의 곱과 같다고 모든 경우를 확인한 것도 아니구요. 소수의 곱이라는 관점을 넘어서는 새로운 함수를 파악하는 과정입니다
20/05/21 18:43
약간 뒤늦게 이런 쓰레드를 접하게 됬는데,, 결론이 수렴하는 방향이 제가 이제껏 알던 수학적 지식과 좀 달라서 약간 놀랍습니다. (참고로 저도 수학이 전공은 아니지만 수학과 대학원 과목은 꽤 들었습니다.) 댓글의 의견을 종합하자면, "모든 소수의 곱은 무한대라서 정수가 아니며 따라서 짝/홀의 의미가 없다" 라는 것이 결론이란 건가요? 그런데, 만일 이 명제가 참이라면 "2를 제외한 모든 소수는 홀수이다" 라는 잘 알려진 명제도 거짓이 되는 것 아닌가요? '모든 소수'라는 집합에는 무한대로 커지는 수도 포함되어 있고 따라서 위의 논리대로라면 이 또한 정수가 아니기 때문에 홀/짝의 의미가 없다 라는 결론에 이르게 되는데요.
20/05/21 19:00
"무한대로 커지는 수도 포함되어 있고" (X)
위에서 계속 이야기하고 있지만, 무한대가 수가 아닙니다. 수가 아니니 모든 소수를 모아놓은 집합의 원소라고 말하는 것 자체가 되지 않습니다. 여담으로 "2를 제외한 모든 소수는 홀수이다"는 참인 명제이긴 한데, 이 명제의 화법이 요즘 유행하는 고이즈미 아들의 화법과 같습니다. 크크크 "홀수=2의 배수가 아닌 것"이니, 위 명제는 마치 "3을 제외한 모든 소수는 3의 배수가 아니다"라고 이야기하고 있는 것과 같아요. 크크 (대충 고이즈미 아들 끄덕끄덕 짤)
20/05/21 20:02
(수정됨) 음 일단 2, 3에 대해서는 좀 잘못 생각했었는데,
https://physics.stackexchange.com/questions/233175/zeta-regularization-of-infinite-product 이 쓰레드를 보면 모든 짝수의 곱은 2^(-1/2) frac{sqrt(2pi)}{Gamma(1)} = sqrt(pi), 모든 홀수의 곱은 1/2 frac{sqrt(2pi)}{Gamma(3/2)} = sqrt(2)라는 것 같네요. sqrt(2) < sqrt(pi) 니까 모든 짝수의 곱이 더 큰가 봅니다. 그런데 위의 sqrt(pi)와 sqrt(2)가 모든 짝수/홀수의 곱을 완전히 나타내는 게 아닌데, 크다 작다를 논해도 될지는 잘 모르겠어요.
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